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Les cercles tangents d'al-Qūhī

Published online by Cambridge University Press:  24 October 2008

Philippe Abgrall
Philippe Abgrall
Affiliation:
Centre d'histoire des sciences et des philosophies arabes et médiévales, C.N.R.S., 27 rue Damesme, 75013 Paris, France; Institut Français d'Études Arabes de Damas (I.F.E.A.D.), B.P. 344, Damas, Syrie
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Abstract

This article presents the Arabic text of al-Qūhī's short geometric treatise, The Book of the centres of the tangent circles on lines, by the method of analysis (Xe century), with translation and a mathematical commentary. In this treatise al-Qūhī solves by analysis an ordered set of eight problems where the goal is to locate, on a given line, the centre of a circle which is tangent to two given elements, which may be points, straight lines or circles. For example, in the first problem he wanted to find the centre of a circle which contains two given points. In fact, al-Qūhī establishes the locus of the solutions, and this locus can be a straight line or a conic. The treatise is reminiscent of one of the purposes of al-Qūhī's work on the perfect compass (an instrument to draw conics by moving continuously), namely to assign to the conics the status of regular lines.

Nous présentons ici l'édition, la traduction et le commentaire mathématique d'un court traité de géométrie composé par al-Qūhī, et intitulé: Le livre des centres des cercles tangents situés sur des lignes, par la méthode de l'analyse. L'auteur y résout, par I'analyse, un ensemble ordonné de huit problèmes dont le but est de rechercher sur une ligne donnée, le centre d'un cercle tangent à deux éléments donnés, pris parmi des points, des droites ou des cercles. Par exemple, dans le premier problème, il cherche le centre d'un cercle passant par deux points donneés. En fait, al-ūuhī détermine des lieux de solutions, et ces lieux sont soit des droites, soit des coniques. Ce traité constitue un témoin de la recherche qui s'est faite au Xe siècle sur les coniques. II rappelle notamment un des buts poursuivis par al-Qūhī dans son étude sur le compas parfait, un instrument pour tracer les coniques d'un mouvement continu: assigner aux coniques le statut de lignes régulières.

Type
Research Article
Information
Arabic Sciences and Philosophy , Volume 5 , Issue 2 , September 1995 , pp. 263 - 295
Copyright
Copyright © Cambridge University Press 1995

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References

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3 Paris, Bibliothèque Nationale, MS Ar. 2457, fols. 19r–21r. Ce manuscrit est daté du siècle et a été copié par al-Siğzī. Cf. Vajda, G., Index général des manuscrits arabes musulmans de la Bibliothèque Nationale de Paris, Publications de l'Institut de Recherche et d'Histoire des Textes 4 (Paris, 1953), p. 460.Google Scholar

4 Ce traité est signalé dans L'algèbre d'Omar Alkhayyāmī, publiée, traduite et accompagnée d'extraits de manuscrits inédits, par Woepcke, F. (Paris, 1851), p. 55, en note. Woepcke y décrit le contenu du traité, et donne la traduction du dernier paragraphe à partir de: “Avant de prendre connaissance du traité d'Apollonius…”Google Scholar

5 Bellosta, Hélène, “Ibrāhīm ibn Sinān: On Analysis and Synthesis”, Arabic Sciences and Philosophy, 1, 2 (1991): 211–32.CrossRefGoogle Scholar

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7 Par ce mot: discussion, nous renvoyons à la notion de “délimitation” (taḥdīd), qui consiste à donner les conditions sous lesquelles un problème admet une solution. Un tel problème est alors appelé “délimité” (maḥdūd). Bellosta, “Ibrāhīm ibn Sinān: on analysis and synthesis”, pp. 212 et 216. Al-Qūhī évoque cette notion de délimitation p. 286 du texte arabe et p. 295 de la traduction.Google Scholar

8 Il explique à la fin de son mémoire qu'il se limite volontairement à ce versant de la question car il ne souhaite pas donner à son ouvrage présent une trop grande ampleur.Google Scholar

9 Cf. note 7.Google Scholar

10 Rashed, “La philosophie des mathématiques d'Ibn al-Haytham”, p. 40.Google Scholar

11 Cf. D'Alexandrie, Pappus, La collection mathématique, trad. Eecke, P. Ver, 2 vol. (Paris, 1982), vol. II, pp. 483–5.Google Scholar

12 D'après Hélène Bellosta, “Ibrāhīm ibn Sinān: Apollonius Arabicus,” (article à paraître). Dans L'anthologie de problèmes d'Ibrāhīm ibn Sinān, se trouvent trois des problèmes des Contacts, et cet auteur nous indique que quatre autres sont tirés de son traité Sur les cercles tangents, qui ne nous est pas parvenu. Nulle part, Ibrāhīm ibn Sinān ne dit avoir lu les Contacts d'Apollonius, mais il a eu entre les mains le traité Des lieux plans.Google Scholar

13 Rashed, “La philosophie des mathématiques d'Ibn al-Haytham,” pp. 188–231.Google Scholar

14 Rashed, “La philosophie des mathématiques d'Ibn al-Haytham,” pp. 124–35.Google Scholar

15 Cette transformation est également employée par Ibrāhīm ibn Sinān. Cf. Bellosta, “Ibrāhīm ibn Sinān: Apollonius Arabicus”.Google Scholar

16 Woepcke, F., “Trois traités arabes sur le compas parfait,” Notices et extraits des manuscrits de la Bibliothèque Impériale et autres bibliothèques, 22, 1 (1874): 1–175, p. 70.Google Scholar